Cours et exercices d'applications -Analyse 4

Abstract

Ce polycopié de cours avec exercices corrigés est destiné principalement aux étudiants de deuxième année L2 licence de mathématiques LMD. Il regroupe l'essentiel du programme de mathématiques du semestre pair sous l'appellation Analyse 4, ce document sera aussi indispensable aux étudiants des classes préparatoires des grandes écoles ainsi que ceux des écoles normales supérieures. D'après notre expérience, lors de l'enseignement de ce module durant quelques années, nous avons décidé de préparer ce polycopié qui contient toutes les notions fondamentales liées à ce module. Ce polycopié se veut avant tout un outil complémentaire aux cours et travaux dirigés qui sont dispensés dans les programmes du cursus officiel. Nous avons voulu dégager les points essentiels permettant à l'étudiant de combler sa compréhension de certaines parties du cours pour aborder efficacement les exercices proposés au cours des séances de travaux dirigés. La plupart des chapitres présentés sont avec un résumé des définitions et des théorèmes principaux avec des propositions. Vu le programme proposé par le ministère, nous avons partagé ce polycopié en cinq chapitres principaux, chacun d'eux étant suivi et illustré par une série d'exercices corrigés et autres sans corrigés. Dans le premier chapitre on introduit la Topologie de ℝⁿ, notamment, les notions de distances, normes, ouverts, fermés,... des domaines inclus dans ℝⁿ, qui nous seront utiles tout au long de ce cours pour tous les nouveaux outils abordés. Le deuxième chapitre est sur les fonctions de plusieurs variables, on s'intéresse aux notions de limite, continuité et l'existence de dérivées partielles. Dans le troisième chapitre, on présente la notion de différentiabilité des fonctions de plusieurs variables et les extremas, et ensuite les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Les deux derniers chapitres 4 et 5 sont consacrés respectivement à l'étude des intégrales doubles et triples. Pour une bonne et bénéfique utilisation de ce polycopié, nous recommandons à nos étudiants d'avoir avant tout une bonne compréhension du cours pour la résolution des exercices proposés. Il faut s'exercer et s'essayer autant que possible sur les difficultés rencontrées avant de lire la solution rédigée. A la fin de ce document, nous avons donné quelques références de base classiques et récentes et que le lecteur ou l'étudiant intéressé pourra aisément consulter.