Perturbations singulières d'équations différentielles ordinaires: Sur l'approche géométrique

Abstract

Les équations di¤érentielles ordinaires dont la dérivée du plus haut degré est mul- tipliée par un petit paramètre " sont généralement appellées équations di¤érentielles ordinaires singulièrement perturbées. De telles équations sont fréquemment utilisées pour modélliser des processus complexes. La résolution du problème non perturbé (dit réduit) pour " = 0 n est pas su¢ sante pour rendre compte de l évolution du système initial. Dans ce mémoire nous allons étudier les systèmes singulièrement per- turbés par trois méthodes selon les outils utilisés dans di¤érent travaux fait dans ce domaine. Notre etude se compose de quatre chapitres. Le premier chapitre est un rappel de quelques notions de base que nous utilisons dans ce mémoire (théorème d existence et d unicité, notions de base des systèmes dynamiques et historique de la théorie des perturbations singulières). Le deuxième chapitre expose une première méthode qu on appellerait qualitative réelle dûe à Tykhonov et ses successeurs, on donnera la démonstration du théorème de Tykhonov pour l intervalle ni et aussi pour l intervalle in ni, en proposant des a¤aib- lissements des conditions. Le troisième chapitre est consacré à la présentation d une autre méthode qui consiste à étudier les développements asymptotiques des solutions. Dans les di¤érentes zones, ces développements asymptotiques ne sont pas de la même espèce, le problème est alors de recoller les morceaux (Wasow, Vasil eva, O Malley et d autres). Une comparaison entre le théorème de Tykhonov et le théorème de O Malley-Vasil eva sera donnée à la n du chapitre. Quant au chapitre quatre, il sera consacré à une dernière méthode géométrique qui consiste à étudier les variétés stables et instables. Elle a été utilisée par Fenichel, Jones ...etc, elle donne des résultats quand il n y a pas de singularités trop compliquées. On exposera l approche géométrique des problèmes singulièrement perturbés et les outils utilisés pour l analyse sont les théorèmes de Fenichel qui seront cités et expliqués. La théorie sera illustrée par des exemples et on donnera une comparaison entre les approches de Tykhonov et Fenichel.