Mathematical Analysis 3 (Course Notes)

Abstract

يُقدّم هذا الملخّص نظرة عامة عن المحاور الستة الرئيسية التي يتناولها الكتاب، والموجه لطلبة السنة الثانية رياضيات.

الفصل الأول: المتسلسلات اللانهائية

يبدأ هذا الفصل بتعريف المتسلسلة اللانهائية ومجموعها الجزئي. يتم شرح الفرق بين المتسلسلات المتقاربة والمتباعدة. * **معايير التقارب:** يتم تقديم وتطبيق مجموعة من الاختبارات الأساسية لتحديد طبيعة المتسلسلات ذات الحدود الموجبة، مثل: * اختبار المقارنة الأساسي ونظرية التكاملات. * اختبار التكامل. * اختبار كوشي للجذر واختبار دالمبير للنسبة. * اختبار ريمان وبيرتراند. * اختبار دوهوميل (لحالات عدم كفاية اختبار النسبة). * **المتسلسلات الخاصة:** يتم دراسة المتسلسلات الهندسية ومتسلسلات ريمان وبيرتراند كحالات مرجعية. * **المتسلسلات المتناوبة:** يُشرح معيار لايبنتز لتقارب المتسلسلات التي تتناوب فيها إشارة الحدود، مع تقدير للباقي. * **التقارب المطلق والشرطي:** يتم التمييز بين المتسلسلات المتقاربة تقاربًا مطلقًا وتلك المتقاربة تقاربًا شرطيًا. * **العمليات على المتسلسلات:** يتم التطرق إلى خصائص جمع المتسلسلات وجداء كوشي لهما، مع أمثلة توضح أهمية التقارب المطلق في جداء كوشي.

الفصل الثاني: متتاليات وسلاسل التوابع

ينتقل هذا الفصل من دراسة الأعداد إلى دراسة التوابع. * **التقارب النقطي والمنتظم:** يتم تعريف نوعي التقارب مع التأكيد على الفرق الجوهري بينهما. يوضح الكتاب أن التقارب المنتظم هو الأقوى ويحفظ خصائص الدالة النهاية. * **مبرهنة ديني:** وهي مبرهنة تعطي شروطًا كافية لكي يؤدي التقارب النقطي الرتيب إلى تقارب منتظم. * **خصائص التقارب المنتظم:** يُثبت الكتاب أن التقارب المنتظم يحفظ الاستمرارية والتكامل، ولكنه لا يحفظ الاشتقاق دون شروط إضافية (مثل تقارب المشتقات المنتظم). * **سلاسل التوابع:** يتم تعميم المفاهيم السابقة على سلاسل التوابع. * **التقارب الطبيعي (اختبار Weierstrass M):** يُقدّم هذا المفهوم كأداة قوية وعملية لإثبات التقارب المنتظم والمطلق لسلسلة توابع. * **تطبيقات:** يتم تقديم أمثلة على دراسة سلاسل توابع مهمة مثل $\sum \frac{x^n}{n^2}$ و $\sum \frac{x^2}{(1+x^2)^n}$.

الفصل الثالث: السلاسل العددية (أو متسلسلات القوى)

يُخصص هذا الفصل لدراسة نوع مهم من سلاسل التوابع وهو متسلسلات القوى $\sum a_n x^n$. * **نصف قطر التقارب:** يتم تعريفه عبر مبرهنة أبيل وطرق حسابه باستخدام معيار كوشي-هادامار ومعيار دالمبير-هادامار. * **العمليات الجبرية:** دراسة كيفية جمع وضرب متسلسلات القوى (جداء كوشي) وتأثير ذلك على نصف قطر التقارب. * **الاستمرارية والاشتقاق والتكامل:** يُثبت الكتاب أن مجموع متسلسلة قوى هو دالة ناعمة (من فئة $C^\infty$) على مجال تقاربها المفتوح، ويمكن اشتقاقها أو تكاملها حدًا حدًا. * **التوسع إلى سلسلة تايلور:** يُعرّف الكتاب دوال القابلية للتوسع إلى متسلسلة قوى ويشرح علاقتها بمتسلسلة تايلور. يتم تقديم شروط كافية لذلك. * **طرق التوسع:** يتم عرض عدة طرق عملية للحصول على توسعات الدوال إلى متسلسلات قوى، مثل التكامل، الاشتقاق، التعويض في توسعات معروفة، واستخدام التحليل إلى كسور جزئية. * **جدول التوسعات المألوفة:** يتضمن ملخصًا للتوسعات الأساسية للدوال المألوفة.

الفصل الرابع: متسلسلات فورييه

يقدّم هذا الفصل فكرة تحليل الدوال الدورية إلى مجموع من التوابع المثلثية. * **الدوال الدورية:** يتم تعريف الدوال $2\pi$-الدورية والمستمرة والمتقطعة بشكل متعدد التعريف. * **سلسلة فورييه:** يتم تعريف سلسلة فورييه المثلثية المرتبطة بدالة دورية، وحساب معاملات فورييه $a_n$ و $b_n$. * **مبرهنة ديريشليت:** تُعدّ هذه المبرهنة المحورية في هذا الفصل، حيث تُعطي شروطًا كافية لتقارب سلسلة فورييه نحو الدالة (أو نحو متوسط النهايتين عند نقطة عدم الاستمرار). * **تمثيل الدوال الزوجية والفردية:** تبسيط حساب المعاملات في حالة الدوال الزوجية والفردية. * **صيغة التكامل:** تعميم المتسلسلة لدوال ذات دور عام $2l$. * **مبرهنتا باسيل وبارسيفال:** يقدمان علاقة بين مربع معاملات فورييه وتكامل مربع الدالة، مع تطبيقات في حساب مجموع متسلسلات عددية مهمة.

الفصل الخامس: التكاملات غير الصحيحة

يمتد هذا الفصل مفهوم تكامل ريمان إلى فترات غير محدودة أو دوال غير محدودة. * **التعريفات:** يتم تعريف النقاط الشاذة (اللانهاية أو النقاط التي تؤول عندها الدالة إلى لا نهاية) ودراسة تقارب أو تباعد التكامل. * **الدوال الموجبة:** يتم تقديم معايير المقارنة والمكافئة لدراسة تقارب التكاملات غير الصحيحة للدوال الموجبة. * **تكاملات ريمان وبيرتراند:** تُستخدم كتكاملات مرجعية للمقارنة. * **الدوال المتذبذبة:** يتم التمييز بين التكاملات المتقاربة تقاربًا مطلقًا وتلك المتقاربة تقاربًا شبه مطلق، مع تقديم مبرهنة أبيل لدراسة هذا النوع. * **التكاملات على فترة محدودة:** معالجة مماثلة للحالة التي تكون فيها الدالة غير محدودة عند أحد طرفي فترة تكامل محدودة. * **التكامل بالتجزئة وتغيير المتغير:** يتم مناقشة هاتين الطريقتين في سياق التكاملات غير الصحيحة.

الفصل السادس: التكاملات المعتمدة على بارامتر

يُعنى هذا الفصل بدراسة دوال تُعرّف بواسطة تكامل يتضمن بارامترًا. * **مبرهنة التقارب المسيطر:** هي الأداة الرئيسية في هذا الفصل، وتسمح بتبديل النهاية والتكامل تحت شروط معينة. * **الاستمرارية:** يتم إعطاء شروط كافية (باستخدام مبرهنة التقارب المسيطر) لضمان استمرارية الدالة المعرفة بالتكامل. * **الاشتقاق:** يتم تقديم مبرهنة تسمح باشتقاق الدالة تحت إشارة التكامل، بشرط وجود دالة مسيطرة على المشتقة الجزئية. * **دالة غاما:** كتطبيق رئيسي، يتم تعريف دالة غاما $\Gamma(x)$ ودراسة خصائصها (استمرارية، اشتقاق، صيغة التكرار)، مع حساب قيم خاصة مثل $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$. * **تمارين تطبيقية:** تتضمن حسابات لتكاملات شهيرة مثل تكامل غاوس (المنحنى الطبيعي) وتكاملات أخرى باستخدام الطرق المذكورة.